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基于a阶逆系统五自由度无轴承永磁 电机解耦控制

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3656.com_【官方首页】-bet365第 26 卷 第 1 期 2006 年 1 月 中 国 电 机 工 程 学 报 Proceedings of the CSEE Vol.26 No.1 Jan. 2006 ©2006 Chin.Soc.for Elec.Eng. 文章编号:0258-8013(2006)01-0120-07 中图分类号:TM34 文献标识码:A 学科分类号:470⋅40 基于a阶逆系统五自由度无轴承永磁 电机解耦控制 孙玉坤,费德成,朱熀秋 (江苏大学电气信息工程学院,江苏省 镇江市 212013) Study on Decoupling Control of The 5 Degree-of-Freedom Bearingless Permanent Magnet Motor Based on a-th Order Inverse System Method SUN Yu-kun, FEI De-cheng, ZHU Huang-qiu (School of Electrical and Information Engineering, Jiangsu University, Zhenjiang 212013, Jiangsu Province, China) ABSTRACT: A decoupling control approach based on a-th order inverse system method has been developed for the innovative 5 degree-of-freedom(DOF) bearingless permanent magnet synchronous motor(BPMSM), which is multi-variable, nonlinear and coupled system. Firstly, the innovative 5 DOF BPMSM is briefly introduced. Then a-th order inverse system method is expounded. Secondly, the working principles of 3 DOF magnetic bearing and 2 DOF BPMSM are analyzed. Then the electromagnetic torque equation and radial forces equations of the 2 DOF BPMSM and the radial-axial forces equations of 3 DOF magnetic bearing are given. And the state equations of BPMSM are set up. Thirdly, the feasibility of decoupling control based on a-th order inverse system method for the innovative 5 DOF BPMSM is discussed in detail, and the dynamic decoupling control algorithm based on a-th order inverse system method is deduced and simulated. The simulation results have showed that this kind of control strategy can realize dynamic decoupling control between torque force and suspension forces of 5 DOF BPMSM, and the whole control system has fine dynamic and static performance. KEY WORDS: Magnetic bearing; Bearingless permanent magnet synchronous motor(BPMSM); Suspension force; Inverse system method; Decoupling control 摘要:文中应用多变量非线性控制a 阶逆系统方法,对新型五自由度无轴承永磁同步电机这一多变量、 非线性、 强耦合 基金项目: 国家自然科学基金项目(50275067,50575099) ;江苏省自然科学基金项目(BK2001090) 。 Project Supported by National Natural Science Foundation of China (50275067,50575099). 的控制对象进行动态解耦控制研究。 介绍了新型五自由度无轴承永磁同步电机结构,阐述了a 阶逆系统方法,分析了三自由度磁轴承的工作原理和二自由度无轴承永磁同步电机径向力产生机理, 给出三自由度磁轴承轴向力、 径向悬浮力方程和二自由度无轴承永磁同步电机转矩力和径向悬浮力方程,建立了电机的状态方程,分析了基于a 阶逆系统方法解耦控制的可行性, 推导出基于a 阶逆系统方法的动态解耦控制算法, 并进行了仿真研究。 仿真结果表明这种控制策略能够实现五自由度无轴承永磁同步电机转矩力和悬浮力之间的动态解耦控制,系统具有良好的动、静态性能。 关键词:磁轴承;无轴承永磁同步电机;悬浮力;逆系统方法;解耦控制 1 引言 五自由度无轴承永磁电机是一个多变量、 非线性、强耦合的被控系统,而且电磁转矩力和悬浮力之间存在耦合,要实现该电机稳定可靠工作,必须分别独立控制磁轴承的径向悬浮力、轴向吸力以及电机转矩力和径向悬浮力。3656.com_【官方首页】-bet365本文以一个由三自由度径向–轴向磁轴承和二自由度无轴承永磁同步电机组成的五自由度无轴承永磁同步电机为例, 采用a 阶逆系统方法动进行态解耦控制策略的研究[1-2]。 2 无轴承永磁同步电机解耦控制 2.1 三自由度磁轴承结构与工作原理 图 1 为三自由度磁轴承结构图。3656.com_【官方首页】-bet365图 1(a)为三极径向磁轴承,图中Fla、Flb和Flc分别为 A、B 和 CPDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 w w w . fi nepri nt. com . cn 第 1 期 孙玉坤等: 基于a逆系统五自由度无轴承永磁同步电机解耦控制 121 轴绕组产生的磁通,Flx和Fly分别是Fla、Flb和Flc到 xl和 yl轴的等效磁通。转子在磁通Fla、Flb和Flc作用下,处于平衡位置,若转子受外扰力作用偏向xl正方向, 则减小磁通Flx即可让转子回到原来平衡位置。ila、ilb和 ilc分别为 A、B 和 C 轴绕组电流,ilx和 ily为 xl和 yl轴等效绕组电流。分析可知,改变xl、yl轴绕组电流 ilx、ily大小和方向,即可改变 Flx、Fly的大小和方向[3-5]。 图 1(b)为轴向磁轴承, 图中Fz为轴向绕组产生的磁通, Fp为永磁体产生磁通。转子处于平衡位置时,Fp是对称分布的。3656.com_【官方首页】-bet365若转子受外扰动力作用,向z 轴正方向偏移,此时通入如图所示电流方向的 iz,则在气隙z1处的磁通Fz1增加, z2处的磁通Fz2减小,此时转子受 z 轴反方向的 Fz作用回到平衡位置。 同理,若转子向 z 轴反方向偏移,则通入与图 3(b)反方向的电流 iz,可使转子受到向 z 轴正方向的 Fz作用而回到平衡位置。改变 z 轴绕组电流 iz大小和方向,即可改变 Fz的大小和方向[3,5]。3656.com_【官方首页】-bet365 Flb B C Flc Flx Fly yl Fla A xl Flx Fly (a)三极径向磁轴承 (b)轴向磁轴承 Fp Fz Fz z1 z2 图 1 三自由度径向轴向磁轴承 Fig. 1 3 DOF radial-axial magnetic bearing 2.2 二自由度无轴承永磁同步电机的工作原理 图 2 给出了二自由度无轴承永磁同步电机径向力产生原理[6-16]。Nm4d和 Nm4q为传统 4 极电机等效d、q 轴绕组,Ns2d和 Ns2q为 2 极径向等效 d、q 轴绕组;im4d、im4q、is2d和 is2q分别为绕组 Nm4d、Nm4q、Ns2d和 Ns2q瞬时电流值;ym4d、ym4q、ys2d和ys2q分别为绕组 Nm4d、Nm4q、Ns2d和 Ns2q产生的磁链;Frx和 Fry分别为转子所受径向力在 xr和 yr方向上的分量。 在图 2 中,四极电机等效绕组电流 im4d产生的四极磁通是对称分布的[7,11-12],气隙磁通处于平衡状态。 当加入如图 2 所示的径向力两极绕组电流 is2d时,气隙 g1处磁通密度加强,而 g2处则减弱,从而产生沿 xr轴正方向的力 Frxis2d,则减小 Frx;当通入电流 is2d与图 2 所示方向相[11,13]。3656.com_【官方首页】-bet365分析可知,减小反时,则 Frx反向。改变两极绕组电流 is2d和 is2q的大小和方向,即可改变 Frx和 Fry的大小和方向。3656.com_【官方首页】-bet365 Fry Frx Nm4d Nm4q Nm4d Nm4q Nm4q Nm4d Nm4d Ns2q Ns2q Nm4q Ns2d Ns2d ym4d ym4d ym4d ys2d ym4d xr yr g1 g2 N N S S 图 2 无轴承永磁同步电机径向力产生原理 Fig. 2 The principle of radial suspension force 2.3 三自由度磁轴承轴向和径向力学方程 在图 1(a)中,ila、ilb和 ilc产生的磁通Fla、Flb和Flc, 其合成磁通产生的麦克斯韦力在 xl和 yl轴投影为 111220332210 −=    −−rrr1231232102121233/200 23/232lalxilbilylclxlxilylyiFFkiikiiiki     −−−− −==⋅−−    (1) 式中 kir为径向电流刚度,0rrrrr3()23mizzFNkSSmddd⋅⋅=+; m0为真空磁导率;dr 为径向气隙;Fm为永磁体磁动势;Sz为轴向磁极面积;Sr为径向磁极面积;Nr为径向线圈匝数。 在图 1(b)中 ziz zFk i=+zk z (2) Fmdd+式中 kiz为轴向电流刚度,0rr()23mzizzzzNkSSd⋅⋅=;kz为轴向位移刚度,202rrr2()23mzzzzFdkSSSmdd⋅=+;d z 为轴向气隙;Nz为轴向线圈匝数。3656.com_【官方首页】-bet365 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 w w w . fi nepri nt. com . cn 122 中 国 电 机 工 程 学 报 第 26 卷 2.4 径向力、电磁转矩力方程 定义 ip4是永磁体等效电流分量幅值,则转矩绕组和径向力绕组的磁链表示如下[13-14] [][m dm qs ds qyyyy=L式中 Lm4d、 Lm4q、Ls2d和 Ls2q为分别为四极电机绕组和两极径向绕组的 d 轴、q 轴自感;M′为电机绕组和径向绕组的互感相对于径向位移的导数。 通常情况下 im4d几乎为零,则磁链矩阵简化为 []m dm qs ds qyyyy= L式中 00m qLM xM yM yM x′′绕组中储存的磁能表达式为[11,13-14] 1[2如不考虑磁饱和,xr和 yr方向的径向力为 Frx和 Fry,则 WFx∂Μ iFFΜ i′−经过变换得到在静止坐标a 和b 中[12] cossinsFtbw设 im4α和 im4β为静止坐标系a 和b 中电机转矩绕组等效电流,设q1和q2为电机绕组、悬浮绕组初始角,令q3=2wt+q1,则 cossinmibq径向绕组电流 is2d和 is2q变换到静止坐标a 和b 中[14] cossinsitbw无轴承永磁同步电机的电磁转矩公式为 1.5[(eTpm qm dTpiLy=⋅+T442244422]m dipm qis dis qii+(3) T44224422[]pm qis dis qii (4) 44′2200m dLs ds qM xM yLM yM xL′′′′=′L (5) T44224422] [L]mpm qis dis qipm qis dis qiWii= (6) rrr′r,mmxyWy∂′′F∂∂== 44r2r244pm qxs diiys qm qpΜ iΜ i= (7) 2r2rsincossxyFFFtttawww−= (8) 44334433sincosmm diim qiaqqq−= (9) 2222sincosss diis qitttawww−= (10) 444444)]m qLm dim qi−⋅ (11) 忽略凸极效应,则有 Lm4d=Lm4q=Lm,Ls2d=Ls2q= Ls,转矩公式可以简化为[10,15] 1.5eTTpy=⋅44pm qi⋅ (12) 式中 pT为电机绕组极对数; yp4为永磁体产生的磁链; Lm4d、 Lm4q分别为电机绕组等效 d 轴、 q 轴电感;im4d、im4q分别为电机绕组等效 d 轴、q 轴电流。 如果采用转子磁场定向控制,即 im4d = 0,此时可以得到最大转矩电流控制,转矩公式可以简化为式(12)。 令q4=arctan(im4q/ip4), q5=2wt+q2+q4,则[9,11,13,16] cossinsFbq式中 44mpm qiii=+。 2.5 无轴承永磁同步电机状态方程 图 3 是五自由度无轴承永磁同步电机转子的受力分析图。图中,下标“l”表示左边的三自由度磁轴承的有关变量 ,下标“r”表示右边的二自由度无轴承永磁同步电机的有关变量; o 为转子的质心,x、y 为转子质心坐标;ol、or分别为左、右坐标原点,定义 xr和 yr为静止的坐标轴,则五自由度无轴承永磁同步电机系统的运动方程如下 mxFmyFmzFmxFmyFJTp22552255sincosssmsFiiM iaabqqq−′= (13) 22llllllrrrrrrrrxxyyxxxxyyeLTfffffTw=====−−−−−=− (14) 式中 m 为转子质量;flx、 fly、fz、 fry、fry分别为xl、yl、z、xr、yr方向的外扰力;J 为转子转动惯量;w为转子角速度;Te、TL为电磁转矩、负载转矩。 Fly yl Flx Fry yr Frx xr xl fz flx fly fry frx Fz ol o or x y Te TL 负载 w 图 3 转子受力分析 Fig. 3 The analysis of forces acting on the rotor 选取状态变量 T121213[ ,,,,] ,, ,,, ,x y z x y x y z x y q q w 输入变量 [ ,,,, [ ,, ,xyzi i i ia输出变量 T1256[ ,,,,]y yy y=⋅⋅⋅=Y把式(12)、(13)、(15)~(17)代入式(14)得出系统的 13 阶状态方程为 []Tllrrllrr35, ,,,,,x xxx=⋅⋅⋅=X  (15) T1267Tlls2s2i44],,,]mmu uu uiibab=⋅⋅⋅=U (16) Tllrr[ ,x y z x y w, ,,, ] (17) PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 w w w . fi nepri nt. com . cn 第 1 期 孙玉坤等: 基于a逆系统五自由度无轴承永磁同步电机解耦控制 123 [][]162738495101 3(m6r 1l7r2l8310r94555r10455511x)21 3(m) (18)21(mM imM i)cossinsincos22ixiyizzzmxymxxxxxxxxxxxk ufxk ufxk uK xffmxuufmxuumx13xxqqqq======−=−=+−′=−+−′=+−==12132TJ42627131.5pTLppJxuuTy =+− 2.6 非线性解耦控制 由方程式(16)~(18)可以看出,五自由度无轴承永磁同步电机状态方程是一个 7 输入、 6 输出 13 阶非线性系统。需要判断系统是否可逆。 首先,计算输出=Y间的导数,直到显含[ ,=U1 3(21 3(21(( )[cosumyM iyumpJ令 1645[cosBM uuq′=−[cosBM uuq′=−[sinBM u uq′=+[sinBM u uq′=+T12,3,4,5]6[ ,y y y y y yu u⋅⋅⋅,,u u,,]对时T1267为止[2]。 −)mmi; ]/()mmi]/()mmi; ]/()mmi; []r 1ik ulr2l1233r445555r645552T42627)))sin]sincos1.5xiyizzzmxympTJLfmk ufyyyymk uk zfmM ifmufmup Tuuqqqqy−−+−==′−+′+−+−A U(19) 55sinsincoscos]/(uuqq++uu274555; 364555qq4745552T4 6u26271.5ppCJ uuy=+;2T4 7u26271.5ppDJ uuy=+。则有 rr55125534/3m00000023m0000002000000000cossin000sincos00000iiizmmmmkkkmM imM imM imM imB BB BC Dqqqq∂∂=′′−′′AU (20) 所以,rank6∂∂,=AU,∂∂,AU非奇异,系统的相对阶)(2,2,2,2,2,1)=数为123456(,,,a a a a a a=α可以得出111riia==∑,又系统的状态方程为 13 阶,所以系统可逆。 应用逆系统理论的状态反馈线性化方法,令:T123456( )[]y y y y y y=A U     到状态反馈算法公式 2()32()3()/zzumk zfkfmuM imfmuM impJuJpyT123456[]f f f f f f=可以得 11lr22lr33rr44555rr545556632TJ47632T4[()sin()cos][()cos()sin]()sin1.5()cos1.5xiyifizyxmyxmTLpTLpumfkumfkfmfmTpJuTpfffqfqfqfqfqfqy=+=+=−+=+−+′=+−+′=+=+(21) 经过式(21)描述的状态反馈,系统成为无耦合的线性系统,如下所示 xyzxyw从而系统成为无耦合的线性系统,得到五自由度无轴承永磁同步电机的状态反馈解耦线性化结l1l23r4r56ffffff====== (22) PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 w w w . fi nepri nt. com . cn 124 中 国 电 机 工 程 学 报 第 26 卷 构示意图如图 4 所示。 图 4(b)为规范化的线性系统,其中方框中的点代表线性系统。 新型五 自由度 无轴承 永磁同 步电机 逆变器 系统 u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 f1 f2 f3 f4 f5 f6 xl yl z xr yr w α 阶 逆 系 统 X (a)状态反馈线性化 (b)规范化线性系统 xl f1 yl f2 z f3 xr f4 yr f5 w f6 图 4 无轴承永磁同步电机的状态反馈线性化 Fig. 4 The state feedback linearization of the 5 DOF BPMSM 3 系统的综合 3.1 转子位置系统的综合 对于由式(22)描述的规范化线性系统,利用线性系统理论对其进行综合。方程式(22)的前 5 行为五自由度无轴承永磁同步电机的 xl、yl、z、xr和 yr位置系统,属于二阶积分型线性系统。例如转子位置 xr系统的传递函数为 x sG sf采用鲁棒伺服调节器设计方法,如图 5 所示,aa sT ss2121()(ssd++r24( )( )s1s( )== (23) 图 5 中01( )+=系统的闭环传递函数选为 12111()( )s2)sswdFx ww+=+ (24) T(s) 22ˆ:1/ sqq k0+k1s erx rrx + − f4 xr xr * + − 图 5 系统转子位置的综合 Fig. 5 The composite of rotor displacement subsystem 式中 x1为阻尼系数;w1决定系统响应的快慢,期望转速为 9000r/min, δ1=5, w 1=900 rad/s, x 1= 2 /2, 则参数 a0,a1,k0和 k1和按下述公式计算 4050000adw=======+ 3.2 转速系统综合 方程式(22)的第六行为转速w系统, 属于一阶积分系统。转速w 系统的传递函数为 ( )/G sw f=210121x wd1011 12x w111181000024500 263631277.6akkwd≈≈ (25) 61/s= (26) 采用鲁棒伺服调节器设计方法,如图 6 所示, 图 6 中22( )()/T sa ssd=+2( )2sx w+取247.5/TpapJy=约为 1300,d2取 5,k2取为 0, 转速系统的闭环传递函数 1300( )1300ss+其中,x2为阻尼系数;w2决定系统响应的快慢。系统的动态性能指标可以通过下面的仿真结果确定。 ,系统闭环递函数选为 ww+222222222sssx wF+= (27) 2265006500+ssF+= (28) T(s) 1ˆ:1/ sqq k2 e rw f6 w w*+ − + − 图 6 转速系统综合 Fig. 6 The composite of rotor mechanical rotational angular speed subsystem 3.3 控制子系统的综合框图 将位置 xl、yl、z、xr、yr和转速子系统进行综合就得到五自由度无轴承永磁同步电机基于α 阶逆系统方法的控制框图,如图 7 所示。 4 控制系统仿真 仿真以实验样机为对象,通过计算机仿真进一步验证本文提出的控制策略。 试验电机参数如表 1。 (1)转子起浮过程 转子处于静止状态时 xr = xl = x,yr = yl = y。转子由 y =−0.25mm, x =0mm 时起浮, 在 t=0.05s 时加5N⋅m 的负载,图 8 为采用转子磁场定向控制方法转子质心的轨迹曲线,图 9 为采用多变量非线性控制a 阶逆解耦控制策略转子质心的轨迹曲线, 从仿真结果可以看出,采用转子磁场定向控制策略和采用逆系统方法的系统的稳态误差都比较小,而采用转子磁场定向控制时系统的超调量较大,两者调节时间相差不大,都约为 0.03s。采用多变量非线性控制a 阶逆解耦控制策略的振荡比较小,较好地实现了转矩力和悬浮力之间的解耦,五自由度无轴承永磁同步电机解耦控制系统的转子位置子系统具有比较好的静、动态性能。图 10 为转子由为 y =−0.25mm,x=0mm 起浮,在 0.05s 时突加一个 x 正方向, 大小为 80N, 作用时间为 0.0005s的扰动,此时转子质心轨迹曲线有一个非常小的波动。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 w w w . fi nepri nt. com . cn 第 1 期 孙玉坤等: 基于a逆系统五自由度无轴承永磁同步电机解耦控制 125 T(s) T(s) T(s) T(s) T(s) T(s) K K 五自由 度无轴 承永磁 同步电 机逆 模型 五自由 度无轴 承永磁 同步电 机负载 模型 电流跟踪 逆变器 电流跟踪 逆变器 电流跟踪 逆变器 线性功率 放大器 − + − + − + − + − + − + − xr + − yr + − w + − + − + − + xl xl yl yl * * elx ely ez z z* erx ery rry rrx rw ew w* yr * xr * f6 f5 f4 f3 f2 f1 ilx ily is2a is2b im4a im4b ir1c ′X ir1b ′ir1a ′ir2c ′ir2b ′ir2a ′ila ′ilb ′ilc ′iz ′iz z xr yr w ir1c ir1b ir1a ir2c ir2b ir2a ila ilb ilc yl xl X 2/3 2/3 2/3 rly rlx rz 注:电流下标为“1”表示电机绕组电流,下标为“2”表示悬浮绕组电流;下标“a、b、c”分别表示绕组电流的三相; 上标“*”代表是给定值, “׳”代表计算给定值 图 7 五自由度无轴承永磁同步电机基于逆系统理论的控制系统框图 Fig. 7 The control diagram of the 5 DOF BPMSM based on the a-th order inverse system method 表 1 电机参数表 Tab. 1 Specification of the motor 三自由度磁轴承参数 径向磁极 面积/mm2 圈匝数 径向绕 组极数 径向气 隙/mm 轴向气 隙/mm 永磁体 厚度/mm 永磁体磁 动势/(A⋅T) 2530 轴向磁极面积/mm2 轴向线 径向线 圈匝数 轴向电流(直 流)最大值/A 径向电流最大有效值/A 轴向电流 刚度/(N/A) 轴向位移 刚度/(N/m) 径向电流 刚度/(N/A) 3 0.5 0.5 3 665 400 140 280 2 2 750 1.9 750 二自由度磁悬浮电机参数 每槽转矩 绕组匝数 轴长/mm 径向绕组 极对数 电机绕 组极对数 气隙 mm 转子外 半径/mm 定子 槽数 每槽径向 绕组匝数 电机有效 互感系数(H/m) 永磁体厚度/mm 永磁体磁链/Wb 等效励磁电流/A 转子质 量/kg 转动惯量(kg⋅m2) 0.00053 1 2 0.5 23 24 10 20 60 3.27 1 0.0230 12 2.0 (2)转速系统 图 11 为无轴承电机的转速阶跃响应,其期望速度为 9000r/min,约为 942.5rad/s。由仿真结果可以看到,系统的稳态误差比较小,超调量约为 1%,在 0.04s 时, 加负载转矩 5N⋅m, 转速发生微小振动, 0.2 0 −0.2 0.06 −0.02 0 0.04 0.02 0.08 t/s x/mm y/mm 图 8 转子磁场定向控制转子质心轨迹图 Fig. 8 The trajectory of the mass center of the rotor on rotor field oriented control 0.2 0 −0.2 0 0.04 0.02 x/mm 0.08 t/s y/mm 0.06 −0.02 图 9 a 阶逆系统方法转子质心轨迹图 Fig. 9 The trajectory of the mass center of the rotor on a-th order inverse system method 很快恢复稳定,转速子系统具有满意的性能指标。 5 结论 应用a 阶逆系统方法解耦控制, 成功地实现了五自由度无轴承永磁同步电机径向位置系统和转 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 w w w . fi nepri nt. com . cn 126 中 国 电 机 工 程 学 报 第 26 卷 0.2 0 −0.2 0 0.04 0.02 x/mm 0.08 t/s y/mm 0.06 −0.02 图 10 负载扰动曲线 Fig. 10 The trajectory of the mass center of the rotor under load disturbance w/(rad/s) 0 0.02 0.03 t/s 0.04 0.01 0.05 800 600 400 200 0 942 1000 图 11 无轴承电动机的转速阶跃响应和负载扰动曲线 Fig. 11 The curve of step response and load disturbance of the mechanical rotational angular speed subsystem of the BPMSM 矩系统之间的动态解耦。仿真表明这种控制策略能够实现五自由度无轴承永磁同步电机转矩力和悬浮力之间的动态解耦控制,电机能够稳定悬浮,而且具有良好的动静态性能。本文的控制策略对于五自由度的无轴承开关磁阻电机、无轴承异步电机等具有参考作用。 参考文献 [1] 李春文,冯元琨.多变量非线性控制的逆系统方法[M].北京:清华大学出版社,1991. 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